Get Adobe Flash player
Главная КСЕ Математика как язык науки

Математика как язык науки

Скачать

2. Математика как язык науки

Представляя собой тип формального знания, математика занимает особое место в отношении наук фактуального профиля. Она оказывается хорошо приспособленной для количественной обработки любой научной информации, независимо от ее содержания. Более того, во многих случаях математический формализм оказывается единственно возможным способом выразить физические характеристики явлений и процессов, поскольку их естественные свойства и особенно отношения непосредственно не наблюдаемы. Скажем, каким образом в физических терминах описать тяготение, эффекты электромагнетизма и т.п.? Их можно представить только математически как определенные числовые соотношения в законах, фиксируемых количественными показателями. Современная наука в лице квантовой механики и чуть ранее теория относительности лишь прибавили абстрактности теоретическим объектам, вполне лишая их наглядности. Только и остается апеллировать к математике. Заявил же однажды Л. Ландау, что современному физику вовсе не обязательно знать физику, ему достаточно знать математику.

Рассмотренное обстоятельство и выдвигает математику на роль языка науки. Пожалуй, впервые отчетливо это прозвучало у Г. Галилея, одного из решающих персонажей в создании математического естествознания, господствующего вот уже более трехсот лет. Галилей писал: "Философия написана в величественной книге (я имею в виду Вселенную), которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, который сначала научился постигать ее язык и толковать знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики"60.

По мере роста абстрактности естествознания эта идея находила все более широкую реализацию, а на склоне XIX в. столетия уже вошла в практику научного исследования в качестве своего рода методологической максимы. Именно так прозвучали слова известного американского физика-теоретика Д. Гиббса, когда однажды при обсуждении вопроса о преподавании английского языка в школе, он, по обыкновению молчавший на подобных совещаниях, неожиданно произнес: "Математика - тоже язык". Дескать, что вы тут все об английском да об английском, математика - также язык. Выражение стало крылатым. И вот уже вослед тому английский физикохимик, лауреат Нобелевской премии (полученной, кстати сказать, вместе с нашим Н. Семеновым) Ханшельвуд объявляет, что ученые должны знать математику как родной язык.

Характерно рассуждение замечательного отечественного исследователя В. Налимова, работавшего в области наукометрии, теории математического эксперимента, предложившего вероятностные модели языка. Хорошая наука, пишет он, говорит на языке математики. Мы, люди, почему-то устроены так, что воспринимаем Мироздание через пространство, время и число. Это значит, что мы подготовлены к тому, чтобы обращаться к математике, подготовлены эволюцией живого, то есть априорно. Пытаясь приоткрыть тайную подоплеку математической власти над ученым, Налимов замечает далее: "Меня часто обвиняют, что я применяю математику в исследовании сознания, языковедения, биологической эволюции. Но разве там есть математика как таковая? Вряд ли. Математикой я пользуюсь как Наблюдатель. Так мне удобнее мыслить, иначе я не могу. Пространство, время, число и логика - это прерогатива Наблюдателя"61.

Ситуация порой складывается в науке так, что без применения соответствующего математического языка понять характер физического, химического и т.п. процесса невозможно. Не случайно признание П. Дирака, что каждый новый шаг в развитии физики требует все более высокой математики. Такой факт. Создавая планетарную модель атома, известный английский физик XX в. Э. Резерфорд испытал математические трудности. Вначале его теорию не приняли: она не звучала доказательно, и виной тому явилось незнание Резерфордом теории вероятности, на основе механизма которой только и возможно было понять модельное представление атомных взаимодействий. Осознав это, выдающийся уже к тому времени ученый, обладатель Нобелевской премии , записался в семинар математика профессора Лэмба и в течение двух лет вместе со студентами прослушал курс и отработал практикум по теории вероятности. На ее основе Резерфорд смог описать поведение электрона, придав своей структурной модели убедительную точность и получив признание.

Напрашивается вопрос, что же содержится в объективных явлениях такое математическое, благодаря чему они и поддаются описанию на языке математики, на языке количественных характеристик? Это однородные единицы вещества, распределяемые в пространстве и времени. Те науки, которые дальше других прошли путь к выделению однородности, и оказываются лучше приспособленными для использования в них математики. В частности, более всего - физика. В. Ленин, отмечая серьезные успехи естествознания и прежде всего физического знания на рубеже XIX-XX столетий, видел одну из причин именно в том, что природу удалось приблизить "к таким однородным элементам материи, законы движения которых допускали математическую обработку"62.

Вслед за физикой идут химические дисциплины, где также оперируют атомами и молекулами, и куда методом "парадигмальной прививки" перетекают из физики многие однородные единицы вещества и поля вместе с соответствующими приемами исследований. Все более утверждается математическая химия. Много слабее математический язык вошел пока в биологию, поскольку единицы субстрата здесь еще не выделены, кроме генетики. Еще менее подготовлены к этому гуманитарные разделы научного знания. Прорыв наблюдается только в языкознании с созданием и успешным развитием математической лингвистики, а также в логике (математическая логика). Науки об обществе, конечно, трудно подвержены количественному анализу в силу специфики явлений и процессов, здесь протекающих, поскольку отмечены неповторимостью и уникальностью. Интересную попытку выявить однородные элементы в исторических процессах предпринял Л. Толстой. В романе "Война и мир" писатель вводит понятие "дифференциал исторического действия" и поясняет, что лишь допустив бесконечно малую единицу - дифференциал истории, то есть "однородные влечения людей", а затем научившись их интегрировать (брать суммы этих бесконечно малых), можно надеяться на постижение истории.

Однако подобная однородность оказывается весьма условной, поскольку "влечения людей" всегда окрашены индивидуальной уникальностью, психологически вариативны, что будет накладывать трудно учитываемые возмущения на постулируемую однородность. Вообще каждое событие в истории общества достаточно своеобразно и не поддается нивелированию в однородные единицы. Хорошая тому иллюстрация - одно рассуждение А. Пуанкаре. Как-то он прочитал у известного английского историка XIX в. Т. Карлейля констатацию: "Здесь прошел Иоанн Безземелный, и этот факт мне дороже, чем все исторические теории". Пуанкаре по сему поводу заметил: "Это язык историка. Физик бы так не сказал. Физик сказал бы: "Здесь прошел Иоанн Безземельный, и мне это совершенно безразлично, потому что больше он здесь не пройдет". Возражение математика Пуанкаре понятно: физику нужна повторяемость, лишь тогда он сможет выводить законы. Наоборот, неповторимость события - тот материал, который питает историческое описание.

Отметим, что понимание однородности как условия применимости математического описания явлений пришло в науку довольно поздно. До известного времени считали невозможным отвлечься от предметных значений, чтобы перейти к числовым характеристикам. Так, еще Г. Галилей, один из основателей математического естествознания, не хотел принимать скорость равномерного прямолинейного движения в форме . Он полагал, что действие деления пути на время физически некорректно, поскольку необходимо было делить километры, метры, и т.п. на часы, минуты, и т.п. То есть считал, недопустимым проводить операцию деления с качественно неоднородными величинами. Для Галилея уравнение скорости имело чисто содержательное значение, но отнюдь не математическое отношение величин. И лишь столетия спустя академик Петербургской академии наук Л. Эйлер, вводя в научный обиход формулу, разъяснил, что мы делим этим не путь на время и, следовательно, не километры или метры на часы, либо минуты, а одну количественную размерность на другую, одно отвлеченное числовое значение на другое. Как замечает М. Розов, Эйлер указанным актом совершил знаково-предметную инверсию, переведя содержательное описание в алгебраически-отвлеченное63. То есть Эйлер принимает качественно данные километры, метры, часы, минуты и т.п. в качестве абстрактной меры за единицы измерения и тогда имеем уже, скажем, не 10 метров, а 10 отвлеченных единиц, которые делим, положим, не на 2 секунды, а на две столь же абстрактные единицы. Таким приемом нам удается качественно разнородные предметы, имеющие пространственную и временную определенность инвертировать в однородность, что и позволяет применить математический количественный язык описания.

3. Математическая методология

Место математики в системе наук определяется также тем, что она играет для других дисциплин и роль методологии. И не только в отношении естествознания, но и для наук социального, гуманитарного цикла. Как заметил еще Р. Декарт, математика вместе с тем, что она язык науки, является также способом мышления, инструментом доказательства. Таким образом, выполняет функцию общенаучного метода, принимая на себя, можно сказать, обязанности философской методологии.

Обладая способностью представлять любую информацию в виде количественных характеристик, математика вырабатывает и особые, отличные от естествознания приемы исследования - математический эксперимент, математическая гипотеза, математическое моделирование. Их специфика состоит в том, ч о вместо операций с веществом и энергией они добывают результат путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, интерпретируя затем полученные числовые выражения в терминах содержательного значения.

Вообще выделяют три вида эксперимента (от лат. experimentum - проба, опыт): натурный, мысленный и математический.

Натурный эксперимент представляет манипуляцию с вещами и энергиями. Он осуществляется в контролируемых и управляемых условиях, обычно специально созданных. Мысленный эксперимент - это также деятельность с материальными предметами и процессами, но взятыми не в натуре, а на уровне образного прочтения физической ситуации и в значительной мере, как считает Р. Харре, опираясь на интуицию64. Так, Г. Галилей, рассуждая о возможности физических изменений систем, движущихся относительно других систем, провел мысленный эксперимент. "Наполнив" каюту корабля бабочками, мухами и т.п., стал "наблюдать" их поведение с целью определить разницу в состояниях, когда корабль плывет и когда он находится в покое.

Математический эксперимент, имея дело не с самими предметами и процессами природы, а с их количественными описаниями, позволяет избежать материальных затрат на сооружение установок и лабораторий, ибо, как заметил отечественный геометр А. Яглом, единственной лабораторией математика является его интеллект. Характерен эпизод. Как-то А. Эйнштейн с супругой знакомился со знаменитой американской обсерваторией Маунт Вильсон. Им показали гигантский телескоп. Фрау Эльза поинтересовалась, зачем нужны столь масштабные инструменты. Директор обсерватории, сдерживая улыбку перед подобной наивностью, прояснил, что это необходимо, чтобы исследовать глубины вселенной. "Странно, - отозвалась фрау, - а мой муж делает это на обороте старого почтового конверта..."

Аналогичным образом работает и математическая гипотеза, задавая физическую ситуацию на языке числовых параметров и оперируя затем последними. Так, вместо обычной используется своего рода "вычислительная" гипотеза, полученная на основе математических расчетов, благодаря чему имеем доступ к недоступным объектам. Эффективность математической гипотезы обусловлена возможностью на основе математического формализма находить по аналогии результат до выяснения его физического содержания.

В этом отношении примечательна история квантовой механики. Руководитель теоретического семинара нидерландский физик, работавший в Германии, П. Дебай попросил Э. Шредингера прореферировать статью Л. де Бройля "О волнах материи". При подготовке реферата Шредингер взял уравнение классической физики и, руководствуясь идеей де Бройля о том, что любой материальной частице соответствует некоторый волновой процесс, обобщил ситуацию, перенеся уравнение классической физики в новую область. Так появилось знаменитое волновое уравнение квантовой механики, ставшее вторым ее вариантом после матричного, возникшего несколько ранее. Кстати заметить, что Д. Гильберт, оценивая успех Шредингера, обратил внимание на то, что оказался невостребованным прием математической гипотезы, на возможность использования которого в свое время Гильберт указывал.

Дело обстояло так. Еще ранее В. Гейзенберг и М. Борн, создавая квантовую механику, испытали математические затруднения и обратились за консультацией к патриарху математической Мекки в Геттингене Гильберту. Удовлетворив просьбу физиков, он вместе с тем им сказал, что всякий раз, когда ему приходилось иметь дело с матрицами, они возникали в качестве побочного продукта собственных значений краевой задачи для дифференциального уравнения. Гильберт посоветовал поискать, не обнаружатся ли дифференциальные уравнения, связанные с этими матрицами. Однако Гейзенберг и Борн только переглянулись. Они сочли это бестолковой идеей и, сопроводив долей веселого юмора, решили, что Гильберт не понимает, о чем говорит.

Когда же Гильберт узнал о создании Шредингером эквивалентного волнового варианта, пришел его черед повеселиться. Он заявил, что если бы физики его послушались, они могли бы открыть волновую механику по крайней мере за 6 месяцев до Шредингера. При этом Гильберт добавил: "Видно, физика слишком сложна, для физиков"65. И еще он сказал, что в наше время физика достаточно важная наука, чтобы оставлять ее только физикам.

Так же эффективно и математическое моделирование. По определению, модель есть заместитель объекта, квазиобъект, на котором испытываются режимы работы исследуемого явления, и результаты переносятся с учетом масштабов на оригинал. Процедура получения информации на модели осуществляется следующим образом. Если A есть модель B, то выполняется такая зависимость y=f(x), где f - знак связи, а y и x - переменные. Если, подставляя на место x характеристики A, будем получать на месте y набор значений B. В случае математического моделирования в качестве объекта-заместителя выступает не вещь, а набор дифференциальных уравнений, решая которые исследователь выводит результат и интерпретирует его в терминах вещественных характеристик изучаемого объекта.

На этом пути чисто математически бывший президент академии наук Союза Г. Марчук получил интересный для теории и практики медицины результат, описанный им в книге "Математические модели в иммунологии". Выполненное сугубо формально вычисление привело его к парадоксальному выводу: для выздоровления в случае хронической болезни надо не понижать, а наоборот, увеличивать концентрацию вируса в организме. Этого можно достичь путем введения биостимуляторов. Отвлекая работу иммунной системы на себя, биостимуляторы создают условия для бурного размножения вируса, вызывающего хронический процесс, что, в свою очередь, обеспечит переход тлеющего течения патологии в открытую форму. А это может содействовать выздоровлению, поскольку в открытой стадии бороться с болезнью легче66.

 

4. Математика - источник представлений и концепций в естествознании

Еще одно методологическое назначение математики состоит в том, она вырабатывает для остальной науки, прежде всего для естествознания, структуры мысли, формулы, на основе которых можно решать проблемы специальных наук.

Это обусловлено все той же особенностью математики описывать не свойства вещей, а свойства свойств, выделяя отношения, независимые от каких-либо конкретных свойств, то есть отношения отношений. Но поскольку и отношения, выводимые математикой, особые (будучи отношениями отношений), то ей удается проникать в самые глубокие характеристики мира и разговаривать на языке не просто отношений, а структур, определяемых как инварианты систем. Поэтому, кстати сказать, математики скорее говорят не о законах (раскрывающих общие, существенные, повторяющиеся и т.д. связи), а именно о структурах.

Эти глубинные проникновения в природу и позволяют математике исполнять роль методологии, выступая носителем плодотворных идей. Относительно сказанного современный американский исследователь Ф. Дайсон пишет: "Математика для физики - это не только инструмент, с помощью которого она может количественно описать явление, но и главный источник представлений и принципов, на основе которых зарождаются новые теории"67. Близкие мысли высказывает известный математик, академик Б. Гнеденко, также подчеркивая, что роль математики не ограничивается функцией аппарата вычисления, подчеркивал, что математика - определенная концепция природы.

Поскольку привилегия математики - выделять чистые, безотносительные к какому-либо физическому (химическому или социально насыщенному содержанию), она тем самым вырабатывает модели возможных еще неизвестных науке состояний. Естествоиспытатель может выбирать из них и примеривать к своей области исследования. Это стимулирует научный поиск, пробуждая и будоража ученую мысль. В силу указанной особенности математику характеризуют как склад готовых костюмов, пошитых на все живые существа, мыслимые и немыслимые (Р. Фейнман), вообще на все возможные природные ситуации. То есть это своеобразный портной для разнообразных вещественных образований, которые могут быть вписаны в эти готовые одежды. Характеризуя рассматриваемую особенность отношений между математикой и физикой, американский физик-теоретик венгерского происхождения Е. Вигнер в режиме шутки произнес: "Физики - безответственные люди: они берут готовые математические уравнения и используют их, не зная, верны они или нет".

В свое время И. Кант метко определил: "Математика - наука, брошенная человеком на исследование мира в его возможных вариантах"68. Если физику, вообще естествоиспытателю, позволено видеть мир таким, каков он есть, то математику дано видеть мир во всех его логических вариантах. Иначе сказать, физик не может строить мир, противоречивый физически (и уж тем более - логически), математику же разрешены построения, противоречивые физически, лишь бы они не страдали логическими противоречиями. Физики говорят, каков мир, математики исследуют, каким бы он мог быть в его потенциальных версиях. Это и придает стимул воображению. Как замечает австрийский математик и писатель нашего времени Р. Музиль, математика есть роскошь броситься вперед, очертя голову, потому математики предаются самому отважному и восхитительному авантюризму, какой доступен человеку. Стоит заметить лишь, что раскованность и рискованность - преимущество не только собственно математика, но и любого исследователя, если и поскольку он мыслит математически, то есть пытаясь дать, по выражению Г. Вейля, "теоретическое изображение бытия на фоне возможного".

Здесь не должно сложиться впечатления о возможности бескрайней фантазийной деятельности ученого. Истина состоит в том, что нематематические науки, сталкиваясь с запретами в проявлении какого-либо свойства, действия, не знают границ, до которых распространяется их компетенция. Это способна определить и узаконить лишь математика, владеющая искусством расчета на основе количественного описания явлений. Другие науки знают лишь, что нечто разрешено, но они не умеют знать той черты, до которой это разрешено, не умеют устанавливать пределов возможного - той количественной меры, определяющей вариантность изменений. Скажем, биолог не располагает сведениями пределов возможного для жизни и познает их в диапазоне лишь наблюдаемого. В этой связи небезынтересно одно замечание по поводу творчества Д. Свифта.

Повествуя в памфлете "Гулливер у великанов" о приключениях героя, приписывает существам, среди которых он оказался, достаточно крупные размеры. Критика проявила интерес, насколько оправдана фантазия писателя: возможно ли нормальное существование подобных великанам людей, то есть выдержит ли кости ног столь габаритные формы и столь внушительный вес? Провели расчеты, оказалось, что кость человека способна удерживать подобных размеров массу тела. Решили, что очевидно Свифт либо произвел соответствующие вычисления сам, либо обратился к математикам. Едва ли писатель полностью полагался на интуицию.

Методологическое значение математики для других наук проявляется еще в одном аспекте. Поскольку ее абстракции отвлечены от конкретных свойств, она способна проводить аналогии между качественно различными объектами, переходить от одной области реальности к другой. Д. Пойа назвал это свойство математики умением "наводить мосты над пропастью" Там, где конкретная наука останавливается (кончается ее компетенция), математика в силу ее количественного подхода к явлениям, свободно переносит свои структуры на соседние, близкие и далекие, регионы природы. Видеть "склейки" - так характеризовал эту особенность математического подхода Б. Рассел и далее, развивая образ, он ставит шутливый вопрос о том, чем отличается состояние абсолютного опьянения от абсолютной трезвости. Пьяный видит одну вещь как две, а трезвый - две вещи как одну. То есть математика представляется наукой абсолютной трезвости.

В оправдание же нашего частого обращения к форме шутки отметим, что большие ученые довольно часто отсылают читателя к шутливым иллюстрациям. Видно, они позволяют легче донести некое содержание читателю. Ю. Шрейдер , кандидат физико-математических и доктор философских наук, , вполне оправданно обратил внимание на стиль выражения, который он назвал "принципом сохранения серьезности": чем серьезнее наука, тем более шутливые примеры она использует. Мы будем подобные повороты мысли, встречающиеся в текстах ученых вовлекать в наше повествование , чтобы не оказаться... слишком серьезными.

Таковы некоторые методологические уроки, внушаемые математикой. Однако, сколь ни эффективна математическая наука, и на нее брошены некоторые тени, а лучше сказать: эти тени - есть продолжение ее достоинств (при неадекватном использовании последних).

Мы говорим математический аппарат исследования применим там, где выявлена однородность, точнее сказать, математика и приводит природные образования к однородностям. Но тем самым она лишает мир многообразия и богатства качественных проявлений, ибо счет, по выражению отечественного математика современности И. Шафаревича, "убивает индивидуальность". Он пишет. Мы имеем, скажем, яблоко, цветок, кошку, дом, солдата, студента, луну. Можно сосчитать и объявить, что их 7. Но 7 чего? Единственный ответ: "7 предметов". Различия между солдатом, луной, яблоком и т.д. исчезают. Они все потеряли свою индивидуальность и превратились в лишенные признаков "предметы"69. То есть счет выравнивает вещи, убирая "персональные" характеристики. Как шутил В. Маяковский, математику все едино: он может складывать окурки и паровозы.

Описывая объект, процесс, математика выявляет какую-то лишь одну (существенную) характеристику и, прослеживая ее вариации, выводит закономерность. Все остальные характеристики уходят в тень, иначе они будут мешать исследованию. Конечно, эти другие также могут оказаться предметом изучения, но будучи взяты по тому же математическому сценарию: каждый раз только один единственный параметр, одно выделенное свойство в отвлечении от остального разнообразия. Напрашивается аналогия. Ее проводит Ю. Шрейдер, называя математику пародией на природу. И в самом деле. Пародия схватывает какую-то одну характеристическую черту пародируемого, за которой уже не видно других особенностей, просто они не важны.

Однако из этого обстоятельства не следуют лишь негативные выводы. Во-первых, математика по-иному работать не может, а во-вторых, в подобном подходе свое преимущество, оно сопряжено, так сказать, с "чистотой" описания: налицо четкая заданность исследования, когда необходимо проследить "поведение" объекта на основе определенного свойства, вычленить линию изменений, тенденцию развития и передать информацию в строгих графиках, схемах, уравнениях.

Собственно и пародия несет не только функцию карикатурной усмешки. Она улавливает значимые определения изображаемого и, выпячивая их, подчеркивает главное. Автору сего текста довелось как-то слушать признания поэта Е. Евтушенко. Выступая в 60-х годах в Томске, он сразу предупредил, что читать стихи не будет (и не просите), а будет отвечать на вопросы. Среди них был такой: "Как Вы относитесь к пародиям на себя?" А что, ответил он, пародия - это хорошо, потому что пародировать можно лишь по-настоящему самобытного поэта, не безликого, но имеющего собственный голос, узнаваемый в массе голосов... По правде говоря, таких поэтов, на которых можно написать хорошую пародию, мало. Потому, как правило, пародии делаются не на стиль, а просто замечают неудачный оборот или сюжет стихотворения и потешаются над ними.

В этой связи вспоминается одно несколько парадоксальное замечание Д. Гранина в романе "Зубр". Характеризуя своего героя биолога Тимофеева-Ресовского (прозванного Зубром), писатель бросает фразу: "Что это за человек, если ему нельзя дать прозвища?"

Возвращаясь к математике, отметим еще одну ее особенность, также имеющую следствием нежелательные моменты. Дело касается математической точности. Точность есть выражение однозначности, исключающее вариантность, разброс значений, неопределенность. Этим и отличаются математические знаки - символы, обозначающие объекты и операции математики. Здесь символы жестко привязаны к значениям, не допуская разночтений, интерпретаций и объяснений, что имеет место относительно знаков других наук.

Таким образом, математические тексты обладают исключительной точностью, не достигаемой другими науками, поскольку у них другие задачи. Вместе с тем, именно эта последовательно реализуемая точность может оборачиваться для науки, применяющей математический аппарат (быть может, и для самой математики), известными утратами.

Математическая точность в описании реальности задает логически жесткий ход мысли, который оставляет очень узкий коридор поиску. Оценивая познавательную ситуацию в естествознании и, очевидно обобщая опыт собственных исканий, известный отечественный физик нашего времени Л. Мандельштам пишет: "Если бы науку с самого начала развивали такие строгие и тонкие умы, которыми обладают некоторые современные математики, которых я очень уважаю, точность не позволила бы двигаться вперед"70. Как тут не вспомнить Гегеля, который в свое время обратил афоризм: "Математика наука точная, потому что она наука тощая". Тощая в том отношении, что лишает полноты восприятия мира, разрешая мысли двигаться по крайне тонкой тропе в неизведанное.

Используя математические методы исследования, вовлекая их в познавательный поиск, науки должны учитывать возможности математики, считаясь с границами ее применимости. Имеется в виду то, что сама по себе математическая обработка содержания, его перевод на язык количественных описаний не дает прироста информации. Как замечает Г. Вейль, математика - это мясорубка. И если ее засыплешь лебедой, то и на выходе получишь ту же лебеду, только что мелко изрубленную. Надо полагать, осознание границ точных количественных методов и отсутствие универсальных (пригодных для всех наук) методов заставило обратиться к разработке в общем-то тоже научных, но неколичественных способов анализа. В частности, А.Заде развивает идею нечетких множеств и на этой основе - особых методов исследования. Вообще заде исходит из того, что количественный анализ оказывается непригодным для описания сложных систем (гуманистических и сравнимых с ними). Действует так называемый принцип несовместимости: чем сложнее система, тем менее мы способны сделать точные и практически значимые выводы о ее поведении (чем глубже анализируем задачу, тем неопределеннее ее решение). Но часто высокая точность и не нужна, вполне достаточна приближенная характеристика.

Новый подход опирается на практику мышления, которое оперирует элементами "нечетких множеств", где, например, переход от "принадлежности классу" к "непринадлежности" ему не скачкообразен. Можно предположить, что в основе такого мышления лежит не двузначная логика, а логика с "нечеткой истинностью, нечеткими связями и нечеткими правилами вывода".

Базируясь на допущении нечеткости и частичной истины, заде и предлагает особый логический аппарат. Он включает: 1) "лингвистические переменные" (вместо числовых или в дополнение к ним), в качестве которых функционируют слова естественного языка; 2) нечеткие высказывания, описывающие отношения между переменными. Например, "если x мало, то y очень велико", "если x не мало и не велико, то y не очень велико"; 3) нечеткие алгоритмы, описывающие сложные отношения. К примеру, "если y велико, то немного уменьшить x", "если y не очень велико и не очень мало, то очень не намного уменьшить x".

Все это позволяет дать эффективные способы приближенного описания сложных систем там, где точные определения невозможны. Метод является более гибким, собственно, даже - при объяснении указанного плана явлений - единственно возможным, поскольку количественная характеристика оказывается здесь непродуктивной.

Одним словом, заключая главу "Математика в системе наук", подчеркнем важную роль этой науки как языка, арсенала особых методов исследования, источника представлений и концепций в естествознании. Вместе с тем следует отдавать отчет в том, что математика не всесильна и что ее особое место, которое ей обеспечено в системе наук, не означает ее исключительность. Выделять математику в человеческом мышлении - все равно, пишет в связи с этим англо-американский математик и логик конца XIX - середины XX столетий А. Уайтхед, что вместо Гамлета выдвигать на первое место в трагедии Шекспира Офелию, а не Гамлета. "Офелия, - продолжает он, - бесспорно очаровательна и немного безумна, но Гамлет - все же центральный персонаж"71.

 

Сколько до сессии?
Декабря 2016 Января 2017
По Вт Ср Че Пя Су Во
1 2 3 4
5 6 7 8 9 10 11
12 13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24 25
26 27 28 29 30 31
Поиск
Программы в помощь